Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({e^{3m}} + {e^m} = 2\left( {x +
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({e^{3m}} + {e^m} = 2\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\) có nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Đặt \(x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}=t\), tìm khoảng giá trị của \(t\).
+) Đưa bài toán về dạng \(m=f\left( t \right)\). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
ĐKXĐ: \(1-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -1\le x\le 1\).
Đặt \(x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}=t\) ta có \({{t}^{2}}={{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\).
Ta có: \(t\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} ,\,\,x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t'\left( x \right) = 1 - {x \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = {{\sqrt {1 - {x^2}} - x} \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
1 - {x^2} = {x^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
{x^2} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
BBT:
Từ BBT ta có: \(t\in \left[ -1;\sqrt{2} \right]\).
Khi đó phương trình trở thành : \({{e}^{m}}+{{e}^{3m}}=2t\left( 1+\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=t\left( {{t}^{2}}+1 \right)={{t}^{3}}+t\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\) ta có \(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\,\,\forall t\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( -1;\sqrt{2} \right)\).
Từ (*) \(\Rightarrow f\left( {{e}^{m}} \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow {{e}^{m}}=t\Leftrightarrow m=\ln t\Rightarrow m\in \left( 0;ln\sqrt{2} \right)=\left( 0;\frac{1}{2}\ln 2 \right)\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
