Hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đa

Câu hỏi số 318525:

Vận dụng

Hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đa thức bậc ba và parabol \(\left( P \right)\) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng:

A. \(\dfrac{{37}}{{12}}\)

B. \(\dfrac{7}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{11}}{{12}}\)

D. \(\dfrac{5}{{12}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318525

Phương pháp giải

Xác định hai hàm số của đồ thị (C) và (P). Từ đó tính diện tích phần tô đậm. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Giả sử \(\left( C \right):y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = - a + b - c + d\\2 = d\\0 = a + b + c + d\\ - 2 = 8a + 4b + 2c + d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c = - 4\\a + b + c = - 2\\8a + 4b + 2c = - 4\\d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

Giả sử \(\left( P \right):y = m{x^2} + nx + l,\,\left( {m \ne 0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = m - n + l\\0 = m + n + l\\ - 2 = 4m + 2n + l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 1\\l = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( P \right):y = g\left( x \right) = - {x^2} + x\)

Diện tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 - \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^2\\ = \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} + 2} \right) - \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} - 2} \right) - \left( {4 - \dfrac{{16}}{3} - 2 + 4} \right) + \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} + 2} \right) = \dfrac{{37}}{{12}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.