Cho hình phẳng \(\left( D \right)\) giới hạn bởi các đường: \(y = x - \pi ,\,\,y = \sin x,\,\,x = 0\).

Câu hỏi số 318528:

Vận dụng

Cho hình phẳng \(\left( D \right)\) giới hạn bởi các đường: \(y = x - \pi ,\,\,y = \sin x,\,\,x = 0\). Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành do \(\left( D \right)\) quay quanh trục hoành và \(V = p{\pi ^4}\,\,\left( {p \in \mathbb{Q}} \right)\) . Giá trị của \(24p\) bằng:

A. \(8\)

B. \(4\)

C. \(24\)

D. \(12\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318528

Phương pháp giải

Cho hai hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\)và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\), \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) khi quay quanh trục Ox là: \(V = \;\pi \int_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \)

Giải chi tiết

Giải phương trình: \(x - \pi = \sin \,x \Leftrightarrow \sin \,x - x + \pi = 0\) (1)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin \,x - x + \pi \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x - 1 \le 0,\,\,\forall x \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có tối đa 1 nghiệm. Mà \(f\left( \pi \right) = 0\,\, \Rightarrow x = \pi \) là nghiệm duy nhất của (1).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

\(\begin{array}{l}V = \;\pi \int_0^\pi {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right|dx} = - \;\pi \int_0^\pi {\left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right)dx} \\ = - \;\pi \int_0^\pi {\left( {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right)dx} = - \pi \left. {\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{{{{\left( {x - \pi } \right)}^3}}}{3}} \right)} \right|_0^\pi \\ = - \pi .\dfrac{1}{2} + \pi \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{{{\pi ^3}}}{3}} \right) = \dfrac{{{\pi ^4}}}{3}\end{array}\)

Mà \(V = p{\pi ^4}\,\,\left( {p \in \mathbb{Q}} \right) \Rightarrow p = \dfrac{1}{3} \Rightarrow 24p = 8\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.