Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc

Câu hỏi số 319314:

Vận dụng

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD (\(H \in AB;K \in AD\)).

a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.

c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.

d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S^’làdiện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: \(\frac{{S'}}{S} \le \frac{{H{K^2}}}{{4.A{I^2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:319314

Phương pháp giải

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\Delta IAD \sim \Delta IBC\,\,\left( {g - g} \right)\) từ đó suy ra đpcm.

c) Chứng minh \(\angle {H_1} = \angle {B_1}{\rm{ ; }}\angle {K_1} = \angle {D_1}\) bởi góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau từ đó suy ra đpcm.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.

Tứ giác AHIK có:

\(\begin{array}{l}\angle AHI = {90^0}{\rm{ }}(IH \bot AB)\\\angle AKI = {90^0}{\rm{ }}(IK \bot AD)\\ \Rightarrow \angle AHI + \angle AKI = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác AHIK nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.

Xét \(\Delta IAD\) và \(\Delta IBC\) ta có:

\(\angle {A_1} = \angle {B_1}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))

\(\angle AID = \angle BIC\) (2 góc đối đỉnh)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta IAD \sim \Delta IBC\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{ID}}{{IC}} \Rightarrow IA.IC = IB.ID\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có

\(\angle {A_1} = \angle {H_1}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

Mà \(\angle {A_1} = \angle {B_1}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {B_1}\,\,\left( { = \angle {A_1}} \right)\)

Chứng minh tương tự, ta được \(\angle {K_1} = \angle {D_1}\,\,\left( { = \angle CAH} \right)\)

Xét \(\Delta HIK\) và \(\Delta BCD\) có:

\(\begin{array}{l}\angle {H_1} = \angle {B_1}{\rm{ }}\,\left( {cmt} \right)\\\angle {K_1} = \angle {D_1}\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta HIK \sim \Delta BCD\,\,\left( {g - g} \right).\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S^’làdiện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: \(\frac{{S'}}{S} \le \frac{{H{K^2}}}{{4.A{I^2}}}\)

Gọi S₁ là diện tích của \(\Delta \)BCD.

Vì \(\Delta HIK \sim \Delta BCD\,\,\left( {cmt} \right)\) nên:

\(\frac{{S'}}{{{S_1}}} = \frac{{H{K^2}}}{{B{D^2}}} = \frac{{H{K^2}}}{{{{(IB + ID)}^2}}} \le \frac{{H{K^2}}}{{4IB.ID}} = \frac{{H{K^2}}}{{4IA.IC}}\) (1)

Vẽ \(AE \bot BD{\rm{ , }}CF \bot BD \Rightarrow AE//CF \Rightarrow \frac{{CF}}{{AE}} = \frac{{IC}}{{IA}}\)

\(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD\) có chung cạnh đáy BD nên:

\(\frac{{{S_1}}}{S} = \frac{{CF}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{S} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{S'}}{{{S_1}}} \cdot \frac{{{S_1}}}{S} \le \frac{{H{K^2}}}{{4IA.IC}} \cdot \frac{{IC}}{{IA}} \Leftrightarrow \frac{{S'}}{S} \le \frac{{H{K^2}}}{{4I{A^2}}}\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link