Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \tan 2x\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)

Câu hỏi số 320214:

Vận dụng

Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \tan 2x\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) có kết quả ?

A. Không tồn tại.

B. \( - 1\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(\frac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320214

Phương pháp giải

Đặt \(t = \frac{\pi }{4} - x \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} - t \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} t = 0\)

Ta quy bài toán về tính giới hạn của hàm ẩn \(t\) khi \(t \to 0.\)

Giải chi tiết

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \tan 2x\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)

Đặt \(t = \frac{\pi }{4} - x \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} - t \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} t = 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\tan 2x.\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \tan 2\left( {\frac{\pi }{4} - t} \right)\tan t = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - 2t} \right)\tan t\\ = \cot 2t\tan t = \frac{{\cos 2t}}{{\sin 2t}}.\frac{{\sin t}}{{\cos t}} = \frac{{\cos 2t}}{{2\sin t\cos t}}.\frac{{\sin t}}{{\cos t}} = \frac{{\cos 2t}}{{2{{\cos }^2}t}}\\ \Rightarrow I = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\cos 2t}}{{2{{\cos }^2}t}} = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.