Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân \(AB = BC = 2a\), cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân \(AB = BC = 2a\), cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh \(BC \bot (SAB)\).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
a) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\)
b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\), chứng minh \(d\left( {SB;CM} \right) = d\left( {S;\left( {MNC} \right)} \right)\).
Sử dụng phương pháp đổi điểm, đưa về tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {MNC} \right)\).
có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\) ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).
\( \Rightarrow MN//SB \Rightarrow d\left( {SB;CM} \right) = d\left( {SB;\left( {MNC} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {MNC} \right)} \right)\)
Ta có
\(\begin{array}{l}SA \cap \left( {CMN} \right) = N \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {CMN} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {CMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{SN}}{{AN}} = 1\\ \Rightarrow d\left( {S;\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {CMN} \right)} \right)\end{array}\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) có \(AH \bot CM\,\,\left( {H \in CM} \right)\).
Trong \(\left( {AHN} \right)\) kẻ \(AK \bot NH\,\,\left( {K \in NH} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AH\\CM \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow CM \bot AK\).
\(\left\{ \matrix{
AK \bot CM \hfill \cr
AK \bot NH \hfill \cr} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {CMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {CMN} \right) = AK} \right)\)
Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,AE\).
Ta có: \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}MF.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BE.AC = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{{2a.2a}}{4} = {a^2}\).
Ta có: \(MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Lại có \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}AH.MC \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{AMC}}}}{{MC}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHN\) ta có :
\(AK = \dfrac{{AH.AN}}{{\sqrt {A{H^2} + A{N^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{2a}}{3}\).
Vậy \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{2a}}{3}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
