Có bao nhiêu cách phân tích số \({15^9}\) thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách

Câu hỏi số 320504:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cách phân tích số \({15^9}\) thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

A. \(517\)

B. \(516\)

C. \(493\)

D. \(492\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320504

Phương pháp giải

Chia làm ba trường hợp:

+) \(3\) số giống nhau.

+) \(2\) trong ba số giống nhau.

+) \(3\) số đôi một khác nhau.

Giải chi tiết

Ta có: \({15^9} = {3^9}{.5^9}\). Đặt \(a = {3^m}{.5^x},b = {3^n}{.5^y},c = {3^p}{.5^z}\).

Khi đó \({15^9} = a.b.c = {3^{m + n + p}}{.5^{x + y + z}} = {3^9}{.5^9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n + p = 9\\x + y + z = 9\end{array} \right.\)

+) TH1: \(3\) số \(a,b,c\) giống nhau thì \(m = n = p = 3,x = y = z = 3\) nên có \(1\) cách.

+) TH2: \(2\) trong ba số giống nhau và khác số còn lại, giả sử \(a = b \Rightarrow m = n,x = y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + p = 9\\2x + z = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 9 - 2m\\z = 9 - 2x\end{array} \right.\)

Do \(p \ge 0,z \ge 0\) nên \(0 \le m \le 4,0 \le x \le 4\) nên có \(5\) cách chọn \(m\) và \(5\) cách chọn \(x\).

Ngoài ra \(m = x = n = y = p = z = 3\) trùng với TH1 nên trong trường hợp này ta chỉ có \(5.5 - 1 = 24\) cách chọn.

+) TH3: Số cách chọn ba số \(m,n,p\) phân biệt có tổng bằng \(9\) là \(C_{11}^2\) và số cách chọn ba số \(x,y,z\) phân biệt có tổng bằng \(9\) là \(C_{11}^2\).

Suy ra số cách chọn ba số \(a,b,c\) phân biệt là \(C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1 = 2592\) cách chọn.

Vậy số cách phân tích (ba số không phân biệt thứ tự) là \(\dfrac{{2592}}{{3!}} + 25 = 517\) cách.

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.