a) Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n\) thì: \({n^3} - 9n + 27\) không chia hết cho 81. b) Một số

Câu hỏi số 321454:

Vận dụng

a) Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n\) thì: \({n^3} - 9n + 27\) không chia hết cho 81.

b) Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu nó gấp 99 lần tổng các chữ số của nó. Tìm số may mắn đó.

A. \(b)\,\,1872\)

B. \(b)\,\,1278\)

C. \(b)\,\,1782\)

D. \(b)\,\,1287\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321454

Phương pháp giải

a) Dễ chứng minh \(n = 3k,\) từ đó đặt \(n = 3k\) và tìm điều kiện của \(k.\)

b) Gọi số đó có dạng: \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_m}} \), chứng minh với \(m > 5\) thì bài toán vô nghiệm.

Giải chi tiết

a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì: \({n^3} - 9n + 27\) không chia hết cho 81.

Giả sử tồn tại \(n\) thỏa mãn \(\left( {{n^3} - 9n + 27} \right)\,\, \vdots \,\,81.\)

\( \Rightarrow \left( {{n^3} - 9n + 27} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {n^{3\,}}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow n\,\, \vdots \,\,3.\)

Do đó đặt \(n = 3k.\)

\( \Rightarrow {n^3} - 9n + 27 = 27{k^3} - 27k + 27 = 27({k^3} - k + 1)\)

Lại có: \({k^3} - k + 1 = k({k^2} - 1) + 1 = k(k - 1)(k + 1) + 1.\)

Do \(k\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3, do đó biểu thức \(k(k - 1)(k + 1) + 1\) sẽ không chia hết cho 3.

Vậy với mọi số tự nhiên \(n\) thì \({n^3} - 9n + 27\) không chia hết cho \(81.\)

b) Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu nó gấp 99 lần tổng các chữ số của nó. Tìm số may mắn đó.

Gọi số may mắn thỏa mãn bài toán có dạng: \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_m}} \), từ đó suy ra: \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_m}} = 99({a_1} + {a_2} + ... + {a_m}).\)

TH1: \(m \le 3\): Kiểm tra trực tiếp ta suy ra vô nghiệm.

TH2: \(m \ge 5\): Ta luôn có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overline {{a_1}{a_2}...{a_m}} \ge {10^{m - 1}}\\99({a_1} + ... + {a_m}) \le 99.9m = 891m\\{10^{m - 1}} > 891m,\forall m \ge 5\end{array} \right..\)

Do đó trường hợp này vô nghiệm.

TH3: \(m = 4\) Thay vào ta có:

\(\begin{array}{l}1000{a_1} + 100{a_2} + 10{a_3} + {a_4} = 99({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4})\\ \Leftrightarrow 901{a_1} + {a_2} = 89{a_3} + 98{a_4}\\Do\,\,\,89{a_3} + 98{a_4} \le (89 + 98).4 = 1683 \Rightarrow 901{a_1} \le 1683 \Rightarrow {a_1} \le 1\\ \Rightarrow {a_1} = 1\,\,\,\left( {a \in \mathbb{N}*} \right).\\ \Rightarrow {a_3} = 10 - {a_4} + \frac{{11 + {a_2} - 9{a_4}}}{{89}}\\{a_3} \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left( {11 + {a_2} - 9{a_4}} \right)\, \vdots \,89\\ \Rightarrow 11 + {a_2} - 9{a_4} = 0 \Rightarrow {a_2} = 7;\,\,{a_4} = 2;\,\,{a_3} = 8;\,\,\,{a_1} = 1.\end{array}\)

Vậy số cần tìm là \(1782.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link