a) Cho \(x \ne 1,\) rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{5x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} -

Câu hỏi số 321453:

Vận dụng

a) Cho \(x \ne 1,\) rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{5x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}}.\)

b) Tìm các số thực x, y với y lớn nhất thỏa mãn: \({x^2} + 5{y^2} + 2y - 4xy - 3 = 0.\)

c) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a = {b^2}\\{b^2} + b = {c^2}\\{c^2} + c = {a^2}\end{array} \right..\) Chứng minh rằng: \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1.\)

A. \(\begin{array}{l}a)\,\,A = \frac{4}{{x - 1}}\\b)\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}a)\,\,A = \frac{4}{{x + 1}}\\b)\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}a)\,\,A = \frac{4}{{{x^2} + x + 11}}\\b)\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}a)\,\,A = \frac{2}{{x + 1}}\\b)\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321453

Phương pháp giải

a) Sử dụng hẳng đẳng thức: \({a^3} - {b^3}\) để quy đồng mẫu số.

b) Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn x, từ đó xét delta và tìm ra GTLN của y.

c) Cộng vế theo vế có \(a + b + c = 0.\)

Giải chi tiết

a) Cho \(x \ne 1,\) rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{5x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}}.\)

Điều kiện: \(x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{5x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}} = \frac{{5x + 1}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}\\ = \frac{{5x + 1 + (2x - 1)(x - 1) + 2({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{4({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{4}{{x - 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các số thực x, y với y lớn nhất thỏa mãn: \({x^2} + 5{y^2} + 2y - 4xy - 3 = 0.\)

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn \(x\) với \(y\) là tham số ta có ngay:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 5{y^2} + 2y - 4xy - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4yx + 5{y^2} + 2y - 3 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - {y^2} - 2y + 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 3 \le y \le 1.\)

Vì \(y\) lớn nhất nên \(y = 1.\)

\( \Rightarrow pt \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)

Vậy cặp số \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {2;\,1} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a = {b^2}\\{b^2} + b = {c^2}\\{c^2} + c = {a^2}\end{array} \right..\) Chứng minh rằng: \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a = {b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{b^2} + b = {c^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{c^2} + c = {a^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của 3 phương trình của hệ ta được:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow a + b + c = 0.\)

Lấy (1) + (2) ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + a + {b^2} + b = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow a + b = {c^2} - {a^2} = (c - a)(c + a)\\ \Leftrightarrow - c = (c - a)( - b).\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - b = ( - a)(b - c)\\ - a = ( - c)(a - b)\end{array} \right.\\ \Rightarrow ( - a)( - b)( - c) = ( - a)( - b)( - c)(a - b)(b - c)(c - a)\\ \Rightarrow (a - b)(b - c)(c - a) = 1.\end{array}\)

Vậy \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link