Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O). Gọi M là điểm bất kì trên BC (M khác B và C), N trên CD sao cho BM
Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O). Gọi M là điểm bất kì trên BC (M khác B và C), N trên CD sao cho BM = CN. Gọi H, I lần lượt là giao điểm của AM với BN và DC.
a) Chứng minh tứ giác AHND nội tiếp và MN vuông góc BI.
b) Tìm vị trí M để độ dài đoạn MN ngắn nhất.
c) Đường thẳng DM cắt (O) tại P khác D, AP giao BD tại S. Chứng minh SM // AC.
Quảng cáo
a) Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối bù nhau và M là trực tâm của tam giác BIN.
b) Sử dụng định lý Pytago đưa MN thành biểu thức.
c) Chứng minh tứ giác CMSD nội tiếp.
a) Chứng minh tứ giác AHND nội tiếp và MN vuông góc BI.
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta BCN\) ta có:
\(\begin{array}{l}BM = CN\,\,\,\left( {gt} \right)\\AB = BC\,\,\,\left( {gt} \right)\\\angle B = \angle C = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta BCN\,\,\,\,(c - g - c)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BAM = \angle CBN\) (các góc tương ứng)
Lại có: \(\angle BAM + \angle BMA = {90^0}\,\,(\Delta ABM\) vuông tại \(B).\)
\( \Rightarrow \angle CBN + \angle BMA = {90^0} \Rightarrow \angle BHM = {90^0}.\)
\( \Rightarrow \angle ADN + \angle AHN = {180^0}\)
\( \Rightarrow ADNH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow IH \bot BN.\)
Lại có: \(BC \bot CD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BC \bot NI.\)
\( \Rightarrow M\) là trực tâm của \(\Delta BIN \Rightarrow NM \bot BI\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
b) Tìm vị trí M để MN ngắn nhất.
Đặt \(AB = a,\,\,BM = x\,\,\left( {0 < x < a} \right) \Rightarrow MC = AB - BM = a - x.\)
Ta có \(\Delta MNC\) vuông tại \(C \Rightarrow M{N^2} = C{M^2} + N{C^2}\) (định lý Pytago)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{N^2} = {\left( {a - x} \right)^2} + {x^2} = 2{x^2} - 2a{x^2} + {a^2}\\ \Leftrightarrow M{N^2} = 2\left( {{x^2} - ax + \frac{1}{2}{a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow M{N^2} = 2\left( {{x^2} - ax + \frac{1}{4}{a^2}} \right) + \frac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow M{N^2} = 2{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}{a^2} \ge \frac{1}{2}{a^2}\end{array}\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x - \frac{1}{2}a = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}.\)
\( \Rightarrow MN \ge \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Hay \(Min\,\,MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,\,\,khi\,\,x = \frac{a}{2}.\)
c) Đường thẳng DM cắt (O) tại P khác D, AP giao BD tại S. Chứng minh SM // AC.
Ta có: \(\angle DMC = {90^0} - \angle PDC\)
Mà \(\angle PDC = \angle PAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PC)
\( \Rightarrow \angle DMC = {90^0} - \angle PAC.\)
Vì BD là trung trực của AC nên \(\angle SAC = \angle SCA\) hay \(\angle PAC = \angle SCA.\)
\( \Rightarrow \angle DMC = {90^0} - \angle SCA = \angle DSC.\)
Lại có \(CMSD\) là tứ giác nội tiếp
Mà \(\angle MCD = {90^0} \Rightarrow \angle MSD = {90^0}\)
Hay \(MS \bot BD \Rightarrow SM//AC\,\,\left( {dpcm} \right).\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
