Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 3a,AD = 4a,AA' = 4a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác

Câu hỏi số 321724:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 3a,AD = 4a,AA' = 4a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(CC'D\). Mặt phẳng chứa \(B'G\) và song song với \(C'D\) chia khối hộp thành \(2\) phần. Gọi \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứa \(C\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{V}\) với \(V\) là thể tích khối hộp đã cho.

A. \(\frac{{19}}{{54}}\)

B. \(\frac{{38}}{3}\)

C. \(\frac{{23}}{4}\)

D. \(\frac{{25}}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321724

Phương pháp giải

- Dựng mặt phẳng chứa \(B'G\) và song song \(C'D\).

- Xác định khối đa diện và tính thể tích bằng cách cộng trừ thể tích các khối đa diện đơn giản.

Giải chi tiết

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(B'G\) và song song với \(C'D.\)

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với \(CD\) và \(CC'.\)

Khi đó ta có: \(MN//C'D\) và \(\frac{{CM}}{{CD}} = \frac{{CN}}{{CC'}} = \frac{2}{3}\)

Và \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng \(\left( {AMNB'} \right),\,\,\left( H \right)\) là phần khối đa diện chứa \(C.\)

Khi đó ta có: \({V_{\left( H \right)}} = {V_{M.BCNB'}} + {V_{B'.ABM}}\)

Ta có: \(BCNB'\) là hình thang vuông tại \(B,\,\,C\) có diện tích:

\(\begin{array}{l}{S_{BCNB'}} = \frac{1}{2}\left( {BB' + CN} \right).BC = \frac{1}{2}\left( {4a + \frac{2}{3}.4a} \right).4a = \frac{{40{a^2}}}{3}.\\ \Rightarrow {V_{MBCNB'}} = \frac{1}{3}MC.{S_{BCNB'}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}.3a.\frac{{40}}{3}{a^2} = \frac{{80{a^3}}}{9}.\end{array}\)

Mặt khác \({S_{\Delta ABM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta BCM}} - {S_{\Delta ADM}} = 3a.4a - \frac{1}{2}.4a.\frac{2}{3}.3a - \frac{1}{2}.4a.\frac{1}{3}.3a = 6{a^2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{B'ABM}} = \frac{1}{3}BB'.{S_{ABM}} = \frac{1}{3}.4a.6{a^2} = 8{a^3}.\\ \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = \frac{{80}}{9}{a^3} + 8{a^3} = \frac{{152{a^3}}}{9}.\end{array}\)

Thể tích hình hộp chữ nhật là: \(V = 3a.4a.4a = 48{a^3}.\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{V} = \frac{{152{a^3}}}{9}.\frac{1}{{48{a^3}}} = \frac{{19}}{{54}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.