Gọi \(A,B\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y

Câu hỏi số 321731:

Vận dụng

Gọi \(A,B\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x - 3}}\) , độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng \(AB\) là

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(4\sqrt 3 \)

D. \(2\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321731

Phương pháp giải

Sử dụng nhận xét: Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\left( C \right)\) nhận \(I\left( {\frac{{ - d}}{c};\frac{a}{c}} \right)\) làm tâm đối xứng và với \(A,B\) thuộc hai nhánh đồ thị \(\left( C \right)\) thì để \(AB\) nhỏ nhất khi \(I\) là trung điểm của \(AB.\)

Từ đó sử dụng công thức tọa độ trung điểm và bất đẳng thức Cô-si để tính toán.

Giải chi tiết

ĐK : \(x \ne 3\)

Ta có \(y = \frac{{x + 3}}{{x - 3}} = 1 + \frac{6}{{x - 3}}\) . Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng \(x = 3\) và tiệm cận ngang \(y = 1.\) Suy ra tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(I\left( {3;1} \right)\).

Với \(A,B \in \left( C \right)\) và \(A,B\) thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị . Để \(AB\) nhỏ nhất thì \(A;I;B\) thẳng hàng hay \(I\) là trung điểm của \(AB.\)

Gọi \(A\left( {{x_A};1 + \frac{6}{{{x_A} - 3}}} \right);B\left( {{x_B};1 + \frac{6}{{{x_B} - 3}}} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\).

Vì \(I\left( {3;1} \right)\) là trung điểm của \(AB\) nên \({x_A} + {x_B} = 2{x_I} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 6 \Leftrightarrow {x_B} = 6 - {x_A}\)

Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{{{x_B} - 3}} - \frac{6}{{{x_A} - 3}}} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {6 - 2{x_A}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{{3 - {x_A}}} - \frac{6}{{{x_A} - 3}}} \right)}^2}} = \sqrt {4{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2} + \frac{{144}}{{{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}}}} \)

Ta có \(A{B^2} = 4{\left( {{x_A} - 3} \right)^2} + \frac{{144}}{{{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}}}\mathop \ge \limits^{Cosi} 2\sqrt {4{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}.\frac{{144}}{{{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}}}} = 48\)

Suy ra \(A{B_{\min }} = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 \Leftrightarrow 4{\left( {{x_A} - 3} \right)^2} = \frac{{144}}{{{{\left( {{x_A} - 3} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_A} - 3} \right)^4} = 36 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = 3 + \sqrt 6 \\{x_A} = 3 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.