Cho \(x,\,y\) là 2 số tự nhiên thỏa mãn: \(3{y^2} + 1 = 4{x^2}\). Chứng minh rằng \(x\) là tổng bình

Câu hỏi số 321969:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,y\) là 2 số tự nhiên thỏa mãn: \(3{y^2} + 1 = 4{x^2}\). Chứng minh rằng \(x\) là tổng bình phương 2 số tự nhiên liên tiếp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321969

Giải chi tiết

Ta có : \(3{y^2} + 1 = 4{x^2} \Leftrightarrow 3{y^2} = (2x - 1)(2x + 1)\)

Dễ có UCLN của \(2x - 1\) và \(2x + 1\) là 1 vì đây đều là 2 số lẻ.

\( \Rightarrow 2x - 1\) và \(2x + 1\) là các số nguyên tố cùng nhau.

Do vậy :

\(\begin{array}{l}TH1:\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = {m^2}\\2x + 1 = 3{n^2}\\mn = y\end{array} \right. \Rightarrow m = (2k + 1) \Rightarrow 2x = 4{k^2} + 4k + 2 \Rightarrow x = {(k)^2} + {(k + 1)^2}.\\TH2:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 3{n^2}\\2x + 1 = {m^2}\\mn = y\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} = 2x - 1 + 2 = 3{n^2} + 2.\end{array}\)

Số này chia 3 dư 2 mà 1 số chính phương không thể chia 3 dư 2 nên vô lý.

Vậy với \(x,\,\,y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(3{y^2} + 1 = 4{x^2}\) thì \(x\) là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link