Cho 2 đường tròn (I, r) và (J, R) tiếp xúc ngoài với nhau tại E( r < R) và đường thẳng d là
Cho 2 đường tròn (I, r) và (J, R) tiếp xúc ngoài với nhau tại E( r < R) và đường thẳng d là tiếp tuyến tại E của 2 đường thẳng đó. Trên d lấy A và C sao cho E nằm giữa và R < EA < EC. Các tiếp tuyến thứ 2 của (I) vẽ từ A và C cắt nhau ở B, các tiếp tuyến thứ 2 từ (J) vẽ từ A và C cắt nhau ở D. Chứng minh rằng tồn tại 1 điểm cách đều 4 đường thẳng AB, BC, CD, DA.
Quảng cáo
Gọi M, N, P, Q là các tiếp điểm của AB, BC, CD và DA với đường tròn (I) và (J) như hình vẽ.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\(BM = BN,AM = AE = AQ,DQ = DP,CP = CN = CE\)
Nên các tam giác có đỉnh là A, B, C, D tương ứng và các tam giác cân.
Phân giác các góc của tứ giác ABCD là trung trực của 4 cạnh tứ giác MNPQ.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle BMN + \angle AMQ + \angle NMQ + \angle GPB + \angle NPC + \angle NPQ\\ = \angle PNC + \angle ANM + \angle MNP + \angle DQP + \angle AQM + \angle PQD\\ = {180^0} + {180^0} = {360^0}\\ \Rightarrow \angle NMQ + \angle NPQ = \angle MNP + \angle PQM.\end{array}\)
Do đó MNPQ là tứ giác nội tiếp do đó trung trực của MN, NP, PQ và PM đồng quy, tức phân giác các góc của tứu giác ABCD đồng quy và đây chính là điểm cách đều 4 đường thẳng AB, BC, CD và DA.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
