Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) có hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left(

Câu hỏi số 322581:

Vận dụng

Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) có hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\) và \(B\left( {0; - 2;2} \right)\), đồng thời cắt các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tại hai điểm cách đều \(O\). Giả sử \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\) và \(\left( Q \right)\) có phương trình \(x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0\). Tính giá trị của biểu thức \({b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}\).

A. \( - 7\)

B. \( - 9\)

C. \(9\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322581

Phương pháp giải

+) \(A,B \in \left( P \right) \Rightarrow \) Thay tọa độ \(A,B\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) được 2 phương trình.

+) Gọi \(M = \left( P \right) \cap Ox;\,\,N = \left( P \right) \cap Oy\). Xác định tọa độ điểm \(M\), \(N\).

+) Từ giả thiết \(OM = ON \Rightarrow \) Phương trình thứ 3.

+) Giải hệ 3 phương trình \( \Rightarrow \left( P \right),\,\left( Q \right)\) từ đó tính \({b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(A,B \in \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {b_1} + {c_1} + {d_1} = 0\\ - 2{b_1} + 2{c_1} + {d_1} = 0\end{array} \right.\).

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}M = \left( P \right) \cap Ox \Rightarrow M\left( { - {d_1};0;0} \right) \Rightarrow OM = \left| {{d_1}} \right| > 0\\N = \left( P \right) \cap Oy \Rightarrow N\left( {0;\frac{{ - {d_1}}}{{{b_1}}};0} \right) \Rightarrow ON = \left| {\frac{{ - {d_1}}}{{{b_1}}}} \right| = \left| {\frac{{{d_1}}}{{{b_1}}}} \right| > 0\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có \(OM = ON \Leftrightarrow \left| {{d_1}} \right| = \left| {\frac{{{d_1}}}{{{b_1}}}} \right| \Leftrightarrow \left| {{d_1}} \right|\left( {\left| {{b_1}} \right| - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {b_1} = \pm 1\,\,\left( {Do\,\,\left| {{d_1}} \right| > 0} \right)\).

TH1: \({b_1} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + {c_1} + {d_1} = 0\\ - 2 + 2{c_1} + {d_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 4\\{d_1} = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,x + y + 4z - 6 = 0\).

TH2: \({b_1} = - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} + {d_1} = 0\\2 + 2{c_1} + {d_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = - 2\\{d_1} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,x - y - 2z + 2 = 0\).

Do vai trò của \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) là như nhau nên không mất tính tổng quát ta có \(\left( P \right):\,\,x + y + 4z - 6 = 0\) và \(\left( Q \right):\,\,x - y - 2z + 2 = 0\).

\( \Rightarrow {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 1\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 2} \right) = - 9\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.