Cho x , y , z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức ≥ 1

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 32352:

Cho x , y , z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức

$\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}+\frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}$ ≥ 1

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:32352

Giải chi tiết

Chứng minh $\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}+\frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}$ ≥ 1 (1)

Ta có $(y+\sqrt{zx}+z)^{2}=(\sqrt{y}.\sqrt{y}+\sqrt{x}.\sqrt{z}+\sqrt{z}.\sqrt{z})^{2}$ ≤ ( y + x + z) ( y + z + z)

$\Rightarrow \frac{1}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}\geq \frac{1}{(x+y+z)(y+2z)}\Leftrightarrow \frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}\geq \frac{2x^{2}+xy}{(x+y+z)(y+2z)}$

$=\frac{1}{x+y+z}(\frac{2x^{2}+xy}{y+2z}$ + x - x ) = $\frac{1}{x+y+z}(\frac{2x^{2}+2xy+2xz}{y+2z}-x)$ $=\frac{2z}{y+z}-\frac{x}{x+y+z}$

Tương tự cộng lại ta được

VT (1) ≥ $\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{z+2x}+\frac{2z}{x+2y}$ - 1

= 2( $\frac{x^{2}}{xy+2xz}+\frac{y^{2}}{yz+2xy}+\frac{z^{2}}{zx+2zy}$ ) - 1 ≥ $\frac{2(x+y+z)^{2}}{3(xy+yz+zx)}$ - 1

Chứng minh được (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx ) => VT(1) ≥ 2 - 1 = 1

Đẳng thức xảy ra x = y = z

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.