Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , BC=2a. Gọi H là điểm thuộc đoạn BC sao cho BC=4BH. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc . Tính thể tích hình chóp S.ABC và chứng minh SC vuông góc với AD, trong đó D là điểm được xác định bởi .

Câu hỏi số 32397:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}=60^{0}$ , BC=2a. Gọi H là điểm thuộc đoạn BC sao cho BC=4BH. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc $60^{0}$ . Tính thể tích hình chóp S.ABC và chứng minh SC vuông góc với AD, trong đó D là điểm được xác định bởi $3.\overrightarrow{SB}=2.\overrightarrow{SD}$ .

A. $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$

B. $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{4}$

C. $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{8}$

D. $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:32397

Giải chi tiết

Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SAH}=60^{0}$ . Ta có:

$AH^{2}=BH^{2}+BA^{2}-2BH.BA.cos60^{0}=(\frac{a}{2})^{2}+a^{2}-2.\frac{a}{2}.a.\frac{1}{2}=\frac{3a^{2}}{4}$

Suy ra AH $\Rightarrow AH= \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow SH= AH. tan 60^{0}= \frac{3a}{2}$

Từ đó: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$

Ta có: $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\Rightarrow AH\perp BC$ . Kết hợp với $AH\perp SH$ ⊥ SH suy ra $AH\perp (SBC)$ nên AH ⊥ SC (1)

Ta có: $SB=\sqrt{SH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{(\frac{3a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$

=> SD $\Rightarrow SD=\frac{3}{2}SB=\frac{3a\sqrt{10}}{4}$

$cos\widehat{SBH}=\frac{BH}{SB}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{10}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow cos\widehat{CBD}=-cos\widehat{SHB}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC.BD.cos\widehat{CBD}$

$=(2a)^{2}+(\frac{a\sqrt{10}}{4})^{2}-2.2a.\frac{a\sqrt{10}}{4}.(-\frac{1}{\sqrt{10}})=\frac{90a^{2}}{16}$

=> CD $\Rightarrow CD=\frac{3a\sqrt{10}}{4}=SD$

Kết hợp với HS=HC ta suy ra $HD\perp HC$ ⊥ SC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $SC\perp (AHD)\Rightarrow SC\perp AD$ nên SC ⊥ AD

Chú ý: Có thể chứng minh SC và AD vuông góc bằng tích vô hướng hoặc chứng minh HD đi qua trung điểm của SC.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.