Cho x, y,z, t (1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 32404:

Cho x, y,z, t $\in$ (1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=log_{yzt}(x^{2}+4x-4)+log_{xzt}(y^{2}+4y-4)+log_{xyt}(z^{2}+4z-4)+log_{xyz}(t^{2}+4t-4)$

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:32404

Giải chi tiết

Ta có: x $\in$ (1;2] =>(x-1)(x²-4) $\leq$ 0 => x²+4x-4 $\geq$ x³. Mặt khác do yzt>1 nên ta có: $log_{yzt}(x^{2}+4x-4)\geq log_{yzt}(x^{3})$

Chứng minh tương tự ta có:

$log_{xzt}(y^{2}+4y-4)\geq log_{xzt}(y^{3});log_{xyt}(z^{2}+4z-4)\geq log_{xyt}(z^{3});$

$log_{xyz}(t^{2}+4t-4)\geq log_{xyz}(t^{3})$

Từ đó suy ra: $P\geq log_{yzt}(x^{3})+log_{xzt}(y^{3})+log_{xyt}(z^{3})+log_{xyz}(t^{3})=Q$

Đặt a=yzt; b=xzt; c=xyt; d=xyz.

Ta có a,b,c,d >1 và $x^{3}=\frac{bcd}{a^{2}};y^{3}=\frac{acd}{b^{2}};z^{3}=\frac{abd}{c^{2}};t^{3}=\frac{abc}{d^{2}}$

Do đó: $Q=log_{a}(\frac{bcd}{a^{2}})+log_{b}(\frac{acd}{b^{2}})+log_{c}(\frac{abd}{c^{2}})+log_{d}(\frac{abc}{d^{2}})=(log_{a}b+log_{b}a)+(log_{a}c+log_{c}a)+(log_{a}d+log_{d}a)+(log_{c}c+log_{c}b)+(log_{b}d+log_{d}b)+(log_{c}d+log_{d}c)-8$

Với hai số thực p,q >1 ta có: $log_{p}q+lg_{q}p\geq 2\sqrt{log_{p}q.log_{q}p}=2$

Do đó: $P\geq Q\geq$ 2+2+2+2+2+2-8=4

Khi x=y=z=t=2 thì P=4. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.