Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Hình chiếu vuông góc của

Câu hỏi số 323986:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt đáy trùng với trung điểm của \(AB\). Biết \(AB = 1\), \(BC = 2\), \(BD = \sqrt {10} \). Góc giữa \((SBD)\) và mặt đáy là \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.BCD\).

A. \(\dfrac{{\sqrt {30} }}{4}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {30} }}{{12}}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {30} }}{{20}}\).

D. \(\dfrac{{3\sqrt {30} }}{8}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:323986

Phương pháp giải

+ Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;\,a \in \left( P \right)\\b \bot d;b \in \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(a;b.\)

+ Tính toán dựa vào định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}h.S\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB,\) kẻ \(AK \bot BD\) tại \(K\) và \(HN \bot BD\) tại \(N \Rightarrow AK//HN \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}AK\) (đường trung bình tam giác \(ABK\))

Khi đó ta có \(BD \bot HN;\,BD \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow BD \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow BD \bot SN\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\HN \bot BD;\,HN \subset \left( {ABCD} \right)\\SN \bot BD;SN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) góc giữa \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(SNH \Rightarrow \widehat {SNH} = 60^\circ \)

Xét tam giác vuông \(ABD\) có \(AD = \sqrt {B{D^2} - A{B^2}} = \sqrt {10 - 1} = 3\) và

\(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{{10}}{9} \Rightarrow AK = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\) nên \(HN = \dfrac{1}{2}AK = \dfrac{3}{{2\sqrt {10} }}\)

Xét tam giác \(SHN\) vuông tại \(H\) có \(SH = HN.\tan \widehat {SNH} = \dfrac{3}{{2\sqrt {10} }}.\tan 60^\circ = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}\)

Diện tích đáy \(BCD\) là \({S_{BCD}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABD}} = \dfrac{{\left( {BC + AD} \right).AB}}{2} - \dfrac{{AB.AD}}{2} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} = 1\)

Thể tích khối chóp \(S.BCD\) là \({V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}.1 = \dfrac{{\sqrt {30} }}{{20}}\) .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.