Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Hình chiếu vuông góc của
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt đáy trùng với trung điểm của \(AB\). Biết \(AB = 1\), \(BC = 2\), \(BD = \sqrt {10} \). Góc giữa \((SBD)\) và mặt đáy là \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.BCD\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+ Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;\,a \in \left( P \right)\\b \bot d;b \in \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(a;b.\)
+ Tính toán dựa vào định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông
+ Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}h.S\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB,\) kẻ \(AK \bot BD\) tại \(K\) và \(HN \bot BD\) tại \(N \Rightarrow AK//HN \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}AK\) (đường trung bình tam giác \(ABK\))
Khi đó ta có \(BD \bot HN;\,BD \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow BD \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow BD \bot SN\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\HN \bot BD;\,HN \subset \left( {ABCD} \right)\\SN \bot BD;SN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) góc giữa \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(SNH \Rightarrow \widehat {SNH} = 60^\circ \)
Xét tam giác vuông \(ABD\) có \(AD = \sqrt {B{D^2} - A{B^2}} = \sqrt {10 - 1} = 3\) và
\(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{{10}}{9} \Rightarrow AK = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\) nên \(HN = \dfrac{1}{2}AK = \dfrac{3}{{2\sqrt {10} }}\)
Xét tam giác \(SHN\) vuông tại \(H\) có \(SH = HN.\tan \widehat {SNH} = \dfrac{3}{{2\sqrt {10} }}.\tan 60^\circ = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}\)
Diện tích đáy \(BCD\) là \({S_{BCD}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABD}} = \dfrac{{\left( {BC + AD} \right).AB}}{2} - \dfrac{{AB.AD}}{2} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} = 1\)
Thể tích khối chóp \(S.BCD\) là \({V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}.1 = \dfrac{{\sqrt {30} }}{{20}}\) .
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
