Trong không gian \({\rm{O}}xyz\), cho các điểm \(A\left( {4;2;5} \right);B\left( {0;4; - 3} \right);C\left( {2; -

Câu hỏi số 324001:

Vận dụng

Trong không gian \({\rm{O}}xyz\), cho các điểm \(A\left( {4;2;5} \right);B\left( {0;4; - 3} \right);C\left( {2; - 3;7} \right)\). Biết điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(P = {x_0} + {y_0} + {z_0}\).

A. \(P = - 3\)

B. \(P = 0\)

C. \(P = 3\)

D. \(P = 6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324001

Phương pháp giải

- Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác.

- Tính \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) và đánh giá GTNN.

- Tính toán và kết luận.

Giải chi tiết

\(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 8} \right);\overrightarrow {AC} \left( { - 2; - 5;2} \right)\). Dễ thấy 2 vec tơ đó không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Suy ra, \(G\left( {2;1;3} \right)\).

Ta có: \(M \in \left( {{\rm{O}}xy} \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};{y_0};0} \right)\)

Lại có, \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\sqrt {{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {1 - {y_0}} \right)}^2} + {3^2}} \ge 3\sqrt {0 + 0 + 9} = 9\) .

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(9\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{y_0} = 1\end{array} \right.\) .

Vậy \(P = 3\).

Chú ý khi giải

Các em cũng có thể tìm \(G\) thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) rồi đánh giá GTNN của biểu thức đã cho. Từ đó suy ra GTNN đạt được nếu \(M\) chính là hình chiếu của \(G\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.