Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left(

Câu hỏi số 324120:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0\), tâm I nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cố định. Biết rằng \(4a + b - 2c = 4\), tìm khoảng cách từ điểm \(D\left( {1;2; - 2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

A. \(\dfrac{9}{{\sqrt {15} }}\).

B. \(\dfrac{{15}}{{\sqrt {23} }}\).

C. \(\dfrac{1}{{\sqrt {314} }}\).

D. \(\dfrac{1}{{\sqrt {915} }}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324120

Phương pháp giải

+) Mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm là \(I\left( {a;b;c} \right)\). Xác định mặt phẳng cố định đi qua I.

+) Công thức tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0\) có tâm \(I\left( {a + 4b; - a + b - c;c - b} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = a + 4b\\{y_I} = - a + b - c\\{z_I} = - b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - {y_I} - {z_I}\\b = \dfrac{1}{4}{x_I} + \dfrac{1}{4}{y_I} + \dfrac{1}{4}{z_I}\\c = \dfrac{1}{4}{x_I} + \dfrac{1}{4}{y_I} + \dfrac{5}{4}{z_I}\end{array} \right.\)

Mà \(4a + b - 2c = 4 \Rightarrow 4\left( { - {y_I} - {z_I}} \right) + \left( {\dfrac{1}{4}{x_I} + \dfrac{1}{4}{y_I} + \dfrac{1}{4}{z_I}} \right) - 2\left( {\dfrac{1}{4}{x_I} + \dfrac{1}{4}{y_I} + \dfrac{5}{4}{z_I}} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow {x_I} + 17{y_I} + 25{z_I} + 16 = 0\)

Do đó tâm I luôn nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cố định là: \(x + 17y + 25z + 16 = 0\)

Khoảng cách từ điểm \(D\left( {1;2; - 2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(d\left( {D;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 17.2 + 25.\left( { - 2} \right) + 16} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{17}^2} + {{25}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {915} }}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.