Tính tổng S các nghiệm của phương trình \(\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x}

Câu hỏi số 324122:

Vận dụng

Tính tổng S các nghiệm của phương trình \(\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\) trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\).

A. \(S = 4\pi \).

B. \(S = \dfrac{{7\pi }}{6}\).

C. \(S = \dfrac{{11\pi }}{6}\).

D. \(S = 5\pi \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324122

Phương pháp giải

Biến đổi về phương trình bậc 2 đối với \(\cos 2x\). Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( { - \cos 2x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}2x - 5\cos 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = - 3\,\,\left( {ktm} \right)\\\cos 2x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Xét \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \in \left( {0;2\pi } \right)\)

\( \Rightarrow 0 < \dfrac{\pi }{6} + k\pi < 2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\, \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{{11}}{6} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{7\pi }}{6}} \right\}\)

Xét \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \in \left( {0;2\pi } \right)\)

\( \Rightarrow 0 < - \dfrac{\pi }{6} + k\pi < 2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\, \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{{13}}{6} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6};\dfrac{{11\pi }}{6}} \right\}\)

Tổng các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là: \(\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{7\pi }}{6} + \dfrac{{5\pi }}{6} + \dfrac{{11\pi }}{6} = 4\pi \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.