Biết rằng hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng

Câu hỏi số 324135:

Thông hiểu

Biết rằng hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Giá trị tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( { - 3;0} \right)\).

B. \(\left( {0;3} \right)\).

C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).

D. \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324135

Phương pháp giải

Để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3\)

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + m\)

Do \(a = 3 > 0\) nên để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 3m > 0\\{\left| {{x_2} - {x_1}} \right|^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\{\left( { - 2} \right)^2} - 4.\dfrac{m}{3} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m = - \dfrac{{15}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{{15}}{4}\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.