Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;\,2018} \right]\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\ln x + \left( {2 - m} \right)x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;{e^2}} \right).\)

Câu 325301: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;\,2018} \right]\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\ln x + \left( {2 - m} \right)x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;{e^2}} \right).\)

A. \(2014\)

B. \(2023\)

C. \(2016\)

D. \(2022\)

Câu hỏi : 325301

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\). Ta có: \(f'\left( x \right) = \ln x + \dfrac{{x + 1}}{x} + 2 - m\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\,{e^2}} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;\,{e^2}} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \ln x + \dfrac{{x + 1}}{x} + 2 - m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;{e^2}} \right)\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = \ln x + \dfrac{{x + 1}}{x} + 2 \ge m\,\,\forall x \in \left( {0;{e^2}} \right)\\ \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{e^2}} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = \ln x + \dfrac{{x + 1}}{x} + 2\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta có:

\(g'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 1\end{array} \right.\)

Ta có BBT:

Từ BBT \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{e^2}} \right]} g\left( x \right) = 4 \Rightarrow m < 4\).

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2018;\,2018} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2018;4} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow m = \left\{ { - 2018; - 2017;...;2;3} \right\}.\end{array}\)

Vậy có 2022 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.