a) Cho \(a,b\) là các số thực. Chứng minh rằng \({(a + b)^2} \ge 4ab\). b) Cho hai số dương \(a,\,\,b\)

Câu hỏi số 325541:

Vận dụng cao

a) Cho \(a,b\) là các số thực. Chứng minh rằng \({(a + b)^2} \ge 4ab\).

b) Cho hai số dương \(a,\,\,b\) có \(a + b = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A = \frac{1}{{1 + 3ab + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + 3ab + {b^2}}}\)

A. \(b)\,\,\min A = 0\)

B. \(b)\,\,\min A = - 1\)

C. \(b)\,\,\min A = 1\)

D. \(b)\,\,\min A = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325541

Phương pháp giải

a) Sử dụng bất đẳng thức: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) sau đó cộng cả 2 vế với \(4ab.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ở câu a) để biến đổi và chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có: \({(a - b)^2} \ge 0\,\,\,\forall a,\,b \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

b) Ta có \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\) (câu a) \( \Rightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \ge ab\)

Vì \(a,\,\,b\) dương nên suy ra \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{{a + b}}{{ab}} \ge \frac{{a + b}}{{\frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}}} = \frac{4}{{a + b}}\)hay \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\,(*)\).

Áp dụng bất đẳng thức: Với \(a,\,\,b > 0\) ta có:

\(\frac{1}{{1 + 3ab + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + 3ab + {b^2}}} \ge \frac{4}{{1 + 3ab + {a^2} + 1 + 3ab + {b^2}}} = \frac{4}{{{{(a + b)}^2} + 4ab + 2}}\)

Mà \(a + b = 1\) nên \(\frac{1}{{1 + 3ab + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + 3ab + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{1^2} + 4ab + 2}} = \frac{4}{{3 + 4ab}}\,\,\,(1)\)

Lại có: \({(a - b)^2} \ge 0\,\,\forall a,b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow ab \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\,\,\, \Rightarrow ab \le \frac{1}{4}\,\,\,\,(2)\end{array}\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(A \ge \frac{4}{{3 + 4.\frac{1}{4}}} = 1\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(\min A = 1 \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link