Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\,\,f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x\) và

Câu hỏi số 325721:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\,\,f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2},\) \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right).\) Biết \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ...... + f\left( {2019} \right) = \frac{a}{b} - 1\) với \(a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{N},\,\,\left( {a;\,b} \right) = 1.\)

Khẳng định nào say đây là sai?

A. \(a - b = 2019\)

B. \(ab > 2019\)

C. \(2a + b = 2022\)

D. \(b \le 2020\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325721

Phương pháp giải

- Lấy nguyên hàm hai vế từ đẳng thức đạo hàm và kết hợp điều kiện tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),...,f\left( {2019} \right)\) thay vào tính tổng.

- Tìm \(a,b\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 1\)

Nguyên hàm hai vế ta được:

\(\int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \) \( \Rightarrow - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\).

Do \(f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\) nên \( - \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} = {1^2} + 1 + C \Leftrightarrow C = 0\).

Do đó \( - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x \Rightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{x}\).

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2019} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2019}} = \frac{1}{{2010}} - 1\).

Vậy \(a = 1,b = 2020\).

Đối chiếu các đáp án ta thấy A sai.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.