Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc

Câu hỏi số 325952:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(\widehat {SBD} = {60^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SO\).

A. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{5}\)

\(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325952

Phương pháp giải

- Dựng mặt phẳng chứa \(SO\) và song song với \(AB\).

- Sử dụng lý thuyết: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia.

- Đưa bài toán về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và kết luận

Giải chi tiết

Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\) thì \(AB//EF \Rightarrow AB//\left( {SEF} \right)\).

Mà \(SO \subset \left( {SEF} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SO} \right) = d\left( {AB,\left( {SEF} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SEF} \right)} \right)\).

Dựng \(AH \bot SE\).

Ta thấy: \(FE//AB,AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow FE \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow FE \bot AH\).

Mà \(AH \bot SE\) nên \(AH \bot \left( {SEF} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SEF} \right)} \right) = AH\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(BD = a\sqrt 2 \).

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta SAB = \Delta SAD\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SD\)

Tam giác \(SBD\) cân có \(\widehat {SBD} = {60^0}\) nên đều \( \Rightarrow SD = BD = a\sqrt 2 \).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có \(SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\).

Tam giác \(SAE\) vuông tại \(A\) có \(SA = a,AE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{a}{2}\)\( \Rightarrow SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Do đó \(AH = \dfrac{{SA.AE}}{{SE}} = \dfrac{{a.\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.