Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1}

Câu hỏi số 325953:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt gá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c.\)

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(2\)

\(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325953

Phương pháp giải

+ Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)

+ Đưa biểu thức cần tìm về \(MI\) từ đó lập luận để có \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

+ Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm VTCP.

+ Điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \)

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB} = \left( {3 - x;1 - y; - 1 - z} \right)\)

Khi đó \(3\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 3x = 6 - 2x\\ - 3y = 2 - 2y\\6 - 3z = - 2 - 2z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 2\\z = 8\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3; - 2;8} \right)\)

Ta có:

\(3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {MI} + \left( {3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {MI} \) (vì \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) )

Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(I\left( { - 3; - 2;8} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = - 2 + t\\z = 8 + t\end{array} \right.\)

Suy ra \(M = d \cap \left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = - 2 + t\\z = 8 + t\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = - 2 + t\\z = 8 + t\\ - 3 + t + - 2 + t + 8 + t - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \dfrac{2}{3}\\x = - \dfrac{{11}}{3}\\y = - \dfrac{8}{3}\\z = \dfrac{{22}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \dfrac{{11}}{3}; - \dfrac{8}{3};\dfrac{{22}}{3}} \right)\)

Từ đó \(a = - \dfrac{{11}}{3};b = - \dfrac{8}{3};c = \dfrac{{22}}{3} \Rightarrow S = 9a + 3b + 6c = - 33 - 8 + 44 = 3\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.