Cho tam giác ABC nội tiếp (O), \(AB < AC\) các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M là trung
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), \(AB < AC\) các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. MH cắt (O) tại N.
a) Chứng minh rằng: A, E, D, H, N cùng thuộc một đường tròn.
b) Lấy P trên đoạn BC sao cho: \(\angle BHP = \angle CHM\), Q là hình chiếu vuông góc của A lên HP. Chứng minh DENQ là hình thang cân.
c) Chứng minh rằng (MPQ) tiếp xúc (O).
Quảng cáo
a) Dựng đường kính AK, chứng minh rằng H, M, K thẳng hàng.
b) Sử dụng 2 góc bằng nhau để chứng minh hình thang cân.
c) Dựng tiếp tuyến Nx rồi chứng minh nó cũng là tiếp tuyến của (MPQ).
a) Chứng minh rằng: A, E, D, H, N cùng thuộc một đường tròn.
Kẻ đường kính AK.
\( \Rightarrow \angle ACK = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay \(AC \bot KC.\)
Lại có: \(BH \bot AC = \left\{ D \right\}\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow KC//BH\) (từ vuông góc đến song song).
Chứng minh tương tự ta có: \(BK//HC\,\,\left( { \bot AB} \right).\)
\( \Rightarrow BHCK\) là hình bình hành (dhnb).
Lại có \(M\) là trung điểm của \(BC,\,\,HK \cap BC = \left\{ M \right\} \Rightarrow M\) là trung điểm của \(HK.\)
Ta có : \(\angle ADH + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow ADEH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow A,\,D,\,E,\,H\) cùng thuộc 1 đường tròn đường kính \(AH.\)
Lại có: \(\angle ANK = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\( \Rightarrow \angle ANK\) nhìn đoạn \(AH\) dưới góc \({90^0} \Rightarrow N\) thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)
\( \Rightarrow A,\,\,N,\,D,\,E,\,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)
b) Lấy P trên đoạn BC sao cho: \(\angle BHP = \angle CHM\), Q là hình chiếu vuông góc của A lên HP. Chứng minh DENQ là hình thang cân.
Ta có: \(\angle AQH = {90^0}\) nên Q nhìn AH dưới một góc vuông.
\( \Rightarrow Q\) cùng \(A,{\rm{ }}E,{\rm{ }}D,{\rm{ }}H,{\rm{ }}N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)
Mặt khác: \(\angle BHP = \angle QHD\)(hai góc đối đỉnh)
\(\angle CHM = \angle EHN\) (hai góc đối đỉnh)
Mặt khác, xét đường tròn đường kính \(AH\) ta có:
\(\angle QHD\) là góc nội tiếp chắn cung \(QD.\)
\(\angle EHN\) là góc nội tiếp chắn cung \(NE.\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}sd\,cung\,NE = \frac{1}{2}sd\,cung\,QD \Rightarrow NE = QD\) (tính chất dây căn cung).
Mà tứ giác \(DENQ\) là tứ giác nội tiếp có cạnh \(NE = QD \Rightarrow DENQ\) là hình thang cân.
c) Chứng minh rằng (MPQ) tiếp xúc (O).
Ta sẽ chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp.
Ta có: \(\angle BEC = \angle BDC = {90^0}\)
\( \Rightarrow BEDC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle MCH = \angle HDE = \frac{1}{2}sd\,cung\,EB.\) (các góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
Lại có \(\angle HDE = \frac{1}{2}sd\,cung\,EH\) (trong đường tròn đường kính AH)
Ta có: \(\angle HMP = \angle CHM + \angle MCH\) (tính chất góc ngoài của tam giác)
\( \Leftrightarrow \angle HMP = \angle EHN + \frac{1}{2}sd\,cung\,EH = \frac{1}{2}sd\,cung\,NE + \frac{1}{2}sd\,cung\,EB = \frac{1}{2}sd\,cung\,NH = \angle NQH.\)
\( \Rightarrow MNPQ\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BHP = \angle CHK = \angle NKB\\ \Rightarrow \Delta BHP \sim \Delta NKP(g.g) \Rightarrow \frac{{BP}}{{BN}} = \frac{{HB}}{{KN}} = \frac{{KC}}{{KN}}\\ \Rightarrow \Delta NBP \sim \Delta NKC\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BNP = \angle KNC\) (các góc tương ứng)
Kẻ tiếp tuyến Nx của (O).
Ta có ngay:
\(\angle PNx = \angle BNx + \angle BNP = \angle NCM + \angle KNC = \angle NCP.\)
Do đó Nx cũng là tiếp tuyến của (MPQ).
Vậy (MPQ) tiếp xúc với (O) tại Nx.
Ta có điều phải chứng minh.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
