Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4}
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 24\) và điểm \(A\left( { - 2;0; - 2} \right).\) Từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) với các điểm thuộc đường tròn \(\left( \omega \right)\). Từ điểm \(M\) di động nằm ngoài \(\left( S \right)\) và nằm trong mặt phẳng chứa \(\left( \omega \right)\)kẻ các tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) với các tiếp điểm thuộc đường tròn \(\left( {\omega '} \right)\). Biết rằng khi hai đường tròn \(\left( \omega \right)\), \(\left( {\omega '} \right)\) có cùng bán kính thì \(M\) luôn thuộc một đường tròn cố định. Tím bán kính \(r\) của đường tròn đó.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Gọi \(H = IA \cap \left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(\left( w \right)\), \(B\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đến \(\left( S \right)\) thuộc đường tròn \(\left( w \right)\). Tính \(IH\).
+) Chứng minh \(IA = IM\).
+) Chứng minh \(MH = const\), kết luận.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;4;6} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {24} \).
Gọi \(H = IA \cap \left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(\left( w \right)\), \(B\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đến \(\left( S \right)\) thuộc đường tròn \(\left( w \right)\).
Ta có \(IA = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {8^2}} = 4\sqrt 6 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABI\) ta có: \(IH = \dfrac{{I{B^2}}}{{IA}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {24} } \right)}^2}}}{{4\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \).
Gọi \(H = IA \cap \left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(\left( {w'} \right)\), \(C\) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến \(\left( S \right)\) thuộc đường tròn \(\left( {w'} \right)\).
Do \(\left( w \right),\,\,\left( {w'} \right)\) là hai đường tròn có cùng bán kính \( \Rightarrow IH = IK \Rightarrow \dfrac{{I{B^2}}}{{IA}} = \dfrac{{I{C^2}}}{{IM}} \Rightarrow IA = IM\,\,\left( {Do\,\,IB = IC = R} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(IMH\) ta có:
\(MH = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = 3\sqrt {10} = const\).
Do \(A,\,\,\left( w \right),\,\,\left( S \right)\) cố định \( \Rightarrow H\) cố định.
Vậy \(M\) luôn thuộc đường tròn \(\left( {H;3\sqrt {10} } \right)\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
