Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \({9.3^{2x}} - m\left( {4\sqrt[4]{{{x^2} + 2x + 1}} + 3m + 3}

Câu hỏi số 327199:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \({9.3^{2x}} - m\left( {4\sqrt[4]{{{x^2} + 2x + 1}} + 3m + 3} \right){3^x} + 1 = 0\) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt?

A. Vô số

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327199

Phương pháp giải

+) \(t = x + 1 \Rightarrow x = t - 1\), đưa về phương trình ẩn \(t\) (*).

+) Chứng minh nếu \(t = {t_0}\) là nghiệm cua (*) thì \(t = - {t_0}\) cũng là nghiệm của (*), từ đó suy ra (*) có nghiệm \(t = 0\).

+) Thay \(t = 0\) vào (*) tìm \(m\).

+) Thử lại các giá trị \(m\) tìm được và kết luận.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{9.3^{2x}} - m\left( {4\sqrt[4]{{{x^2} + 2x + 1}} + 3m + 3} \right){3^x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {9.3^{2x}} - m\left( {4\sqrt[4]{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 3m + 3} \right){3^x} + 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = x + 1 \Rightarrow x = t - 1\), khi đó phương trình trở thành :

\({9.3^{2\left( {t - 1} \right)}} - m\left( {4\sqrt[4]{{{t^2}}} + 3m + 3} \right){3^{t - 1}} + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Giả sử \({t_0}\) là một nghiệm của phương trình \(\left( * \right) \Rightarrow {9.3^{2\left( {{t_0} - 1} \right)}} - m\left( {4\sqrt[4]{{t_0^2}} + 3m + 3} \right){3^{{t_0} - 1}} + 1 = 0\).

\( \Leftrightarrow m\left( {4\sqrt[4]{{t_0^2}} + 3m + 3} \right) = \dfrac{{{{9.3}^{2\left( {{t_0} - 1} \right)}} + 1}}{{{3^{{t_0} - 1}}}}\)

Thay \(t = - {t_0}\) vào (*) ta có :

\(\begin{array}{l}{9.3^{2\left( { - {t_0} - 1} \right)}} - m\left( {4\sqrt[4]{{t_0^2}} + 3m + 3} \right){3^{ - {t_0} - 1}} + 1\\ = \dfrac{9}{{{3^{2\left( {{t_0} + 1} \right)}}}} - \dfrac{{{{9.3}^{2\left( {{t_0} - 1} \right)}} + 1}}{{{3^{{t_0} - 1}}{{.3}^{{t_0} + 1}}}} + 1\\ = \dfrac{{{3^2}{{.3}^{{t_0} - 1}} - \left( {{3^2}{{.3}^{2\left( {{t_0} - 1} \right)}} + 1} \right){{.3}^{{t_0} + 1}} + {3^{{t_0} - 1}}{{.3}^{2\left( {{t_0} + 1} \right)}}}}{{{3^{{t_0} - 1}}{{.3}^{2\left( {{t_0} + 1} \right)}}}}\\ = \dfrac{{{3^{{t_0} + 1}} - {3^{3{t_0} + 1}} - {3^{{t_0} + 1}} + {3^{3{t_0} + 1}}}}{{{3^{{t_0} - 1}}{{.3}^{2\left( {{t_0} + 1} \right)}}}} = 0\end{array}\)

Do đó \(t = - {t_0}\) cũng là nghiệm của phương trình (*).

\( \Rightarrow \) Khi \({t_0} \ne 0\) thì số nghiệm của phương trình (*) luôn chẵn.

\( \Rightarrow \) Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) nhận \(t = 0\) là nghiệm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {9.3^{ - 2}} - m\left( {3m + 3} \right){3^{ - 1}} + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) = 2\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(m = 1\) vào phương trình ban đầu ta có:

\({9.3^{2x}} - \left( {4\sqrt[4]{{{x^2} + 2x + 1}} + 6} \right){3^x} + 1 = 0\)

Sử dụng MTCT ta tìm được phương trình có 3 nghiệm \(x = - 2;x = - 1;x = 0\).

Thay \(m = - 2\) vào phương trình ban đầu ta có :

\({9.3^{2x}} - 2\left( {4\sqrt[4]{{{x^2} + 2x + 1}} - 3} \right){3^x} + 1 = 0\).

Sử dụng MTCT ta tìm được phương trình có nghiệm \(x = - 1\).

Vậy \(m = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.