Cho các số phức \(z\) và \(\left( \omega \right)\)thỏa mãn \(\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{\omega } + 1 - i.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {\omega + 1 - i} \right|.\)

Câu 327202: Cho các số phức \(z\) và \(\left( \omega \right)\)thỏa mãn \(\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{\omega } + 1 - i.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {\omega + 1 - i} \right|.\)

A. \(\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\sqrt 2 \)

Câu hỏi : 327202

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Rút \(z\) theo \(w\) và \(\left| z \right|\). Sử dụng phương pháp môđun 2 vế.

+ Tìm GTLN của \(\left| w \right|\). Áp dụng BĐT : \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{w} + 1 - i\\ \Leftrightarrow w\left( {2 + i} \right)\left| z \right| = z + w\left( {1 - i} \right)\\ \Leftrightarrow z = w\left( {2 + i} \right)\left| z \right| - w\left( {1 - i} \right)\\ \Leftrightarrow z = w\left[ {2\left| z \right| - 1 + \left( {\left| z \right| + 1} \right)i} \right]\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = {\left| w \right|^2}\left[ {{{\left( {2\left| z \right| - 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 1} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {\left| w \right|^2} = \dfrac{{{{\left| z \right|}^2}}}{{5{{\left| z \right|}^2} - 2\left| z \right| + 2}}\end{array}\)

Đặt \(t = \left| z \right| \ge 0\). Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2}}}{{5{t^2} - 2t + 2}}\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{2t\left( {5{t^2} - 2t + 2} \right) - {t^2}\left( {10t - 2} \right)}}{{{{\left( {5{t^2} - 2t + 2} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{10{t^3} - 4{t^2} + 4t - 10{t^3} + 2{t^2}}}{{{{\left( {5{t^2} - 2t + 2} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 2{t^2} + 4t}}{{{{\left( {5{t^2} - 2t + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(0 \le f\left( t \right) \le \dfrac{2}{9}\,\,\forall t \ge 0 \Rightarrow 0 \le {\left| w \right|^2} \le \dfrac{2}{9} \Leftrightarrow 0 \le \left| w \right| \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\).

Ta có \(T = \left| {w + 1 - i} \right| \le \left| w \right| + \left| {1 + i} \right| \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} + \sqrt 2 = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \(\max T = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.