Cho hàm số \(f\left( x \right)\) dương và liên tục trên \(\left[ {1;3} \right]\) thỏa mãn \(\mathop {\max

Câu hỏi số 327521:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) dương và liên tục trên \(\left[ {1;3} \right]\) thỏa mãn \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\) và biểu thức\(S = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\int\limits_1^3 {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}dx} \) đạt GTLN, khi đó hãy tính \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{5}{2}\).

B. \(\dfrac{3}{5}\).

C. \(\dfrac{7}{5}\).

\(\dfrac{5}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327521

Giải chi tiết

Ta có: \(0 < f\left( x \right) \le \dfrac{1}{2};\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)

Khi đó: \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) có tập giá trị là \(\left[ {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)\), với \(x \in \left[ {1;3} \right]\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge \dfrac{5}{2},\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge \dfrac{5}{2} - f\left( x \right),\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)

\(S = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\int\limits_1^3 {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}dx} \ge \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\int\limits_1^3 {\left( {\dfrac{5}{2} - f\left( x \right)} \right)dx} \)

\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\int\limits_1^3 {\left( {\dfrac{5}{2} - f\left( x \right)} \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\left( {5 - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} } \right) = 5.\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - {\left( {\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} } \right)^2}\)

Khi đó hàm số đạt GTLN \( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{5}{2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.