Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 4.\) Gọi

Câu hỏi số 327831:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 4.\) Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z - 2 - 2i} \right|\). Đặt \(A = M + m\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(A \in \left( {\sqrt {34} ;6} \right)\)

B. \(A \in \left( {6;\sqrt {42} } \right)\)

C. \(A \in \left( {2\sqrt 7 ;\sqrt {33} } \right)\)

D. \(A \in \left[ {4;3\sqrt 3 } \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327831

Phương pháp giải

+ Từ giả thiết suy ra tập hợp điểm \(M\left( z \right)\) là hình vuông

+ Biến đổi để đưa \(P\) bằng với khoảng cách từ điểm \(I\left( {2;2} \right)\) đến \(M.\)

+ Đánh giá để tìm \(\max ;\min \) của \(P.\)

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có : \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {x + yi + x - yi} \right| + \left| {x + yi - x + yi} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| x \right| + \left| y \right| = 2\end{array}\)

Suy ra tập hợp điểm \(M\) là hình vuông \(KBCD\) (hình vẽ) có các đỉnh \(K\left( {2;0} \right);B\left( {0;2} \right);C\left( { - 2;0} \right);D\left( {0; - 2} \right)\)

Xét \(P = \left| {z - 2 - 2i} \right| = \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \)

Nhận thấy với \(I\left( {2;2} \right) \Rightarrow IM = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = P\)

Như vậy \({P_{\max }} \Leftrightarrow I{M_{\max }};\,{P_{\min }} \Leftrightarrow I{M_{\min }}\)

Gọi \(E\left( {1;1} \right)\) là trung điểm \(BK \Rightarrow IE < IK < ID\)

Nên \({P_{\max }} = ID = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \) và \({P_{\min }} = IE = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 2 \)

Vậy \(A = M + m = 2\sqrt 5 + \sqrt 2 \in \left( {\sqrt {34} ;6} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.