Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} =

Câu hỏi số 327833:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = - t\end{array} \right.\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \({d_1}\) tạo với \({d_2}\) một góc \(45^\circ \) và nhận véctơ \(\overrightarrow n = \left( {1;b;c} \right)\) làm một véc tơ pháp tuyến. Xác định tích \(bc.\)

A. \( - 4\) hoặc \(0\)

B. \(4\) hoặc \(0\)

C. \( - 4\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327833

Phương pháp giải

Ta sử dụng mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) thì \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\)

Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\alpha \) thì \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\)

Từ đó tìm ra \(b,c \Rightarrow b.c\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có : \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,b;\,c} \right).\)

Đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2; - 1} \right);\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\)

Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({d_1}\) nên \(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_1}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2b - c = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) tạo với \({d_2}\) góc \(45^\circ \) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\sin 45^\circ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 - c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left| {1 - c} \right| = \sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} \Leftrightarrow {b^2} = - 2c \Leftrightarrow c = - \frac{{{b^2}}}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(2 - 2b + \frac{{{b^2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4b + 4 = 0 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow c = - 2 \Rightarrow b.c = - 4.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.