Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... +

Câu hỏi số 327841:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \frac{{{x^{2019}}}}{{2019!}} - {e^x}\,\,\,\,\,khi\,x \ge 0\\ - {x^2} - 10x\,\,\,\,khi\,x < 0\end{array} \right.\) . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương và chia hết cho \(5\) của tham số \(m\) để bất phương trình \(m - f\left( x \right) \le 0\) có nghiệm?

A. \(5\)

B. \(25\)

C. \(6\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327841

Phương pháp giải

+ Đặt \(g\left( x \right) = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \frac{{{x^{2019}}}}{{2019!}} - {e^x}\) với \(x \ge 0\)

+ Đánh giá \(g'\left( x \right) \le 0;\,\forall x \ge 0\) để tìm GTLN của \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

+ Tìm GTLN của \(h\left( x \right) = - {x^2} - 10x\) với \(x < 0\)

+ Từ đó tìm GTLN của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}.\)

+ Bất phương trình \(m - f\left( x \right) \le 0\) có nghiệm khi \(m \le \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right)\). Kết hợp với điều kiện đề bài để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

+ Đặt \(g\left( x \right) = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \frac{{{x^{2019}}}}{{2019!}} - {e^x}\) với \(x \ge 0\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{x^{2018}}}}{{2018!}} - {e^x}\\g''\left( x \right) = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{x^{2017}}}}{{2017!}} - {e^x}\\........\\{g^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = 1 + x - {e^x}\\{g^{\left( {2019} \right)}}\left( x \right) = 1 - {e^x}\end{array}\)

Với mọi \(x \ge 0\) ta có \({g^{\left( {2019} \right)}}\left( x \right) = 1 - {e^x} \le 0\) (dấu “=” xảy ra khi \(x = 0\))

\( \Rightarrow {g^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = 1 + x - {e^x}\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow {g^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) \le {g^{\left( {2018} \right)}}\left( 0 \right) \Leftrightarrow {g^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) \le 0.\)

Tương tự ta có \(g'\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \ge 0\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = g\left( 0 \right) = 0\)

Mặt khác xét \(h\left( x \right) = - {x^2} - 10x = 25 - {\left( {x + 5} \right)^2} \le 25\) với \(x < 0\).

Hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(25 \Leftrightarrow x = - 5\,\,\,\,\left( {TM} \right)\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = 25\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = 25\) .

+ Xét bất phương trình \(m - f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge m\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) \ge m \Leftrightarrow m \le 25 \Rightarrow m \in \left\{ {5;\,\,10;\,\,15;\,\,20;\,\,25} \right\}\)

Vậy có \(5\) giá trị \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.