Cho số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) có modun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 331060:

Vận dụng

Cho số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) có modun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 - 2i} \right| = \left| {z - 2} \right|\). Tính \(P = {x^2} + {y^2}\)

A. \(32\)

B. \(16\)

C. \(8\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:331060

Phương pháp giải

- Thay \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) vào điều kiện bài cho tìm mối quan hệ của \(x,y\).

- Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức \(z\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left| {x + yi - 4 - 2i} \right| = \left| {x + yi - 2} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \left| {\left( {x - 2} \right) + yi} \right|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 4y + 4 = {x^2} - 4x + 4 + {y^2}\)

\( \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow y = 4 - x\)

\(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)\( = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \) \( \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \)

Vậy môdun nhỏ nhất của số phức \(z\) bằng \(2\sqrt 2 \)

Suy ra \(P = {x^2} + {y^2}\)\( = 8\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.