Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\cos

Câu hỏi số 331525:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\cos x}}}} = \cos x\) có nghiệm?

A. \(3\)

B. \(6\)

C. \(5\)

\(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:331525

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp ứng dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\cos x}}}} = \cos x \Leftrightarrow m + 3\sqrt[3]{{m + 3\cos x}} = {\cos ^3}x\\ \Leftrightarrow m + 3\cos x + 3\sqrt[3]{{m + 3\cos x}} = {\cos ^3}x + 3\cos x\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà theo (*) ta có \(f\left( {m + 3\cos x} \right) = f\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow m + 3\cos x = {\cos ^3}x \Leftrightarrow m = {\cos ^3}x - 3\cos x\).

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\), phương trình trở thành \(m = {u^3} - 3u = g\left( u \right)\,\,\left( {**} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( u \right) = {u^3} - 3u\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta có \(g'\left( u \right) = 3{u^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow u = \pm 1\).

Ta có \(g\left( 1 \right) = - 2;\,\,g\left( { - 1} \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = - 2;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = 2\).

(**) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.