Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh\(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và góc

Câu hỏi số 331712:

Vận dụng

Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh\(a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và góc giữa \(SD\)với mặt đáy bằng \({45^{\rm{o}}}.\) Gọi \(M,N,P\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(SA,SC,SD\) sao cho \(SM = MA,\)\(SN = 2NC\) và \(SP = 2PD.\)

a. Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot BD;\)\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).\)

b. Chứng minh rằng \(AP \bot NP.\)

c. Tính côsin của góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {BNP} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:331712

Phương pháp giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

b) Chứng minh \(NP\) vuông góc với mặt phẳng chứa \(AP\).

c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC)\\\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right).\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{SN}}{{NC}} = \dfrac{{SP}}{{PD}} = 2 \Rightarrow NP//CD\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AP\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AP \bot NP.\)

c) Ta có: \(\left( {BNP} \right) \equiv \left( {ABNP} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(E = MC \cap AN\). Trong \(\left( {SAD} \right)\) gọi \(F = MD \cap AP\).

\( \Rightarrow \left( {ABNP} \right) \cap \left( {MCD} \right) = EF\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABNP} \right) \supset AB\\\left( {MCD} \right) \supset CD\\AB//CD\\\left( {ABNP} \right) \cap \left( {MCD} \right) = EF\end{array} \right. \Rightarrow EF//AB//CD\).

Mà \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow EF \bot \left( {SAD} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF \bot AF\\EF \bot DF\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABNP} \right);\left( {MCD} \right)} \right) = \angle \left( {AF;DF} \right)\).

Ta có \(\angle \left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD;AD} \right) = \angle SDA = {40^0} \Rightarrow \Delta SAD\) vuông cân tại \(A\).

\( \Rightarrow SA = AD = a,\,\,SD = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow AM = \dfrac{a}{2} \Rightarrow DM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(APD\) ta có: \(\cos {45^0} = \dfrac{{{a^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2} - A{P^2}}}{{2.a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}}} \Leftrightarrow A{P^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{9} \Rightarrow AP = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SMD\) ta có : \(\dfrac{{AM}}{{AS}}.\dfrac{{PS}}{{PD}}.\dfrac{{FD}}{{FM}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.2.\dfrac{{FD}}{{FM}} = 1 \Leftrightarrow FD = FM \Rightarrow FD = \dfrac{1}{2}MD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{4}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SAP\) ta có : \(\dfrac{{MA}}{{MS}}.\dfrac{{DS}}{{DP}}.\dfrac{{FP}}{{FA}} = 1 \Leftrightarrow 1.3.\dfrac{{FP}}{{FA}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{FP}}{{FA}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow AF = \dfrac{3}{4}AP = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{4}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(AFD\) ta có:

\(\cos \angle AFD = \dfrac{{A{F^2} + D{F^2} - A{D^2}}}{{2AF.DF}} = \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{5{a^2}}}{{16}} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{5{a^2}}}{{16}}}} = - \dfrac{3}{5}\).

Vậy \(\cos \angle \left( {\left( {MCD} \right);\left( {BNP} \right)} \right) = \dfrac{3}{5}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.