Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = 3\sin x - 2\cos x + mx\) đồng

Câu hỏi số 332124:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = 3\sin x - 2\cos x + mx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

A. \(m \in \left( { - \infty ;\sqrt {13} } \right].\)

B. \(m \in \left[ { - \sqrt {13} ; + \infty } \right).\)

C. \(m \in \left[ {\sqrt {13} ; + \infty } \right).\)

D. \(m \in \left( { - \infty ; - \sqrt {13} } \right].\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332124

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' = f'\left( x \right) \ge 0;\,\forall x \in \mathbb{R}\) (dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm)

Sử dụng \( - 1 \le \sin x \le 1;\,\forall x\)

Giải chi tiết

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(y' = {\left( {3\sin x - 2\cos x + mx} \right)^\prime } = 3\cos x + 2\sin x + m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0 ;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 3\cos x + 2\sin x + m \ge 0;\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {13} }}\,\cos x + \frac{2}{{\sqrt {13} }}\sin x + \frac{m}{{\sqrt {13} }} \ge 0 \Leftrightarrow \sin \alpha .\cos x + \cos \alpha .\sin x + \frac{m}{{\sqrt {13} }} \ge 0\,\,\forall x\)

Với \(\alpha \) là góc thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) \ge - \frac{m}{{\sqrt {13} }};\,\forall x \Leftrightarrow - \frac{m}{{\sqrt {13} }} \le - 1 \Leftrightarrow m \ge \sqrt {13} \,\,\left( {do\,\,\, - 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1;\,\forall x} \right)\)

Vậy \(m \in \left[ {\sqrt {13} ; + \infty } \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.