Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;0;1} \right),B\left( {2;1;0} \right),C\left( {3;1; - 2}

Câu hỏi số 332129:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;0;1} \right),B\left( {2;1;0} \right),C\left( {3;1; - 2} \right)\) và \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\):\(2x - y + 2z + 7 = 0\). Tính giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\).

A. \({P_{\min }} = 5\)

B. \({P_{\min }} = 27\)

C. \({P_{\min }} = 3\)

D. \({P_{\min }} = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332129

Phương pháp giải

- Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

- Đánh giá GTNN của biểu thức \(P\) và kết luận.

Giải chi tiết

+) Ta tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( { - 1 - x; - y;1 - z} \right)\\\overrightarrow {IB} = \left( {2 - x;1 - y; - z} \right)\\\overrightarrow {IC} = \left( {3 - x;1 - y; - 2 - z} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( { - 1 - x} \right) + 5\left( {2 - x} \right) - 7\left( {3 - x} \right) = 0\\3\left( { - y} \right) + 5\left( {1 - y} \right) - 7\left( {1 - y} \right) = 0\\3\left( {1 - z} \right) + 5\left( { - z} \right) - 7\left( { - 2 - z} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x - 14 = 0\\ - y - 2 = 0\\ - z + 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 14\\y = - 2\\z = 17\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 14; - 2;17} \right)\end{array}\) .

Khi đó: \(P = \left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\)

\(\begin{array}{l} = \left| {3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 5\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) - 7\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI.\end{array}\)

Do đó \({P_{\min }}\) nếu và chỉ nếu \(MI\) đạt \(\min \) hay \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

+) Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\left( { - 14; - 2;17} \right)\) và vuông góc \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + 7 = 0\) nên nó nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right) = \overrightarrow {{u_d}} \) làm VTCP.

Phương trình tham số: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 14 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 17 + 2t\end{array} \right.\).

Điểm \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( \alpha \right)\) nên \(M = d \cap \left( \alpha \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( { - 14 + 2t} \right) - \left( { - 2 - t} \right) + 2\left( {17 + 2t} \right) + 7 = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{3} \Rightarrow M\left( { - \frac{{52}}{3}; - \frac{1}{3};\frac{{41}}{3}} \right)\\ \Rightarrow {P_{\min }} = MI = \sqrt {{{\left( {\frac{{10}}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{5}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{10}}{3}} \right)}^2}} = 5.\end{array}\) .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.