Cho tam giác nhọn \(ABC\) có ba đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\) a) Chứng minh:

Câu hỏi số 334228:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có ba đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\)

a) Chứng minh: \(\Delta ABE \sim \Delta ACF,\) từ đó suy ra \(AB.AF = AC.AE.\)

b) Chứng minh: \(DB.DC = DA.DH.\)

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Đường thẳng vuông góc với \(IH\) tại \(H\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Chứng minh \(\Delta AHN \sim \Delta BIH\) và \(H\) là trung điểm của \(MN.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:334228

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo TH góc – góc, từ đó suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

b) Chứng minh \(\Delta DHB \sim \Delta DAC\,\,\left( {g - g} \right)\) sau đó suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và suy ra đẳng thức cần chứng minh.

c) Chứng minh \(\Delta AHN \sim \Delta BIH\,\,\left( {g - g} \right)\) và \(\Delta AHM \sim \Delta CIH\,\,\,\left( {g - g} \right)\) để từ đó suy ra \(H\) là trung điểm của \(MN.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh: \(\Delta ABE \sim \Delta ACF,\) từ đó suy ra \(AB.AF = AC.AE.\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,\,\,chung\\\angle AEB = \angle AFC = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta ACF\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}} \Leftrightarrow AB.AF = AC.AE\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Chứng minh: \(DB.DC = DA.DH.\)

Ta có: \(\angle DAC + \angle ACD = {90^0}\) (do \(\Delta ADC\) vuông tại D)

\(\angle EBC + \angle ACD = {90^0}\) (do \(\Delta BEC\) vuông tại E)

\( \Rightarrow \angle EBC = \angle DAC\) (cùng phụ với \(\angle ACD\))

Hay \(\angle DAC = \angle HBD.\)

Xét \(\Delta DAC\) và \(\Delta DBH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ADC = \angle HDB = {90^0}\\\angle HBD = \angle DAC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta DAC \sim \Delta DBH\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{DC}}{{DH}} \Leftrightarrow DA.DH = DB.DC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Đường thẳng vuông góc với \(IH\) tại \(H\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Chứng minh \(\Delta AHN \sim \Delta BIH\) và \(H\) là trung điểm của \(MN.\)

Ta có: \(\angle EHN = \angle MHB\) (hai góc đối đỉnh)

Mà \(\angle ENH + \angle EHN = {90^0}\) (do \(\Delta EHN\) vuông tại \(E\))

\(\angle MHN + \angle BHI = {90^0}\,\,\left( {IH \bot MH} \right)\)

\( \Rightarrow \angle BHI = \angle ANH\) (tính chất bắc cầu).

Xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta BIH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle HAN = \angle HBI\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ANH = \angle BHI\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AHN \sim \Delta BIH\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\\ \Rightarrow \frac{{AH}}{{BI}} = \frac{{HN}}{{IH}} = \frac{{AN}}{{BH}}.\end{array}\)

Ta có: \(\angle FMH + \angle FHM = {90^0}\) (do \(\Delta FHM\) vuông tại \(F\))

\(\angle IHC + \angle CHN = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,IH \bot HN} \right)\)

Mà \(\angle FHM = \angle NHC\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle IHC = \angle FMH.\)

Xét \(\Delta HMA\) và \(\Delta CIH\) ta có:

\(\angle MAH = \angle HCI\) (cùng phụ với \(\angle ABD\))

\(\begin{array}{l}\angle AMH = \angle IHC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AHM \sim \Delta CIH\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AH}}{{CI}} = \frac{{MA}}{{CH}} = \frac{{HM}}{{IH}}\end{array}\)

Lại có \(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow BI = CI.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AH}}{{BI}} = \frac{{AH}}{{CI}} = \frac{{HN}}{{IH}} = \frac{{HM}}{{IH}}\\ \Rightarrow HN = HM\end{array}\)

Hay \(H\) là trung điểm của \(MN\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link