Gọi \(\left( P \right)\) là đường parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y =

Câu hỏi số 334333:

Vận dụng

Gọi \(\left( P \right)\) là đường parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = m{x^4} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + {m^2} - m + 1\) và \(A,B\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục hoành. Khi \(AB = 2,\) mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. \(m \in \left( {4;6} \right).\)

B. \(m \in \left( {2;4} \right).\)

C. \(m \in \left( { - 3; - 1} \right).\)

D. \(m \in \left( { - 1;2} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:334333

Phương pháp giải

Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có ba điểm cực trị khi \(ab < 0\)

Tìm tọa độ ba điểm cực trị sau đó viết phương trình parabol đi qua ba điểm

Từ đó tìm tọa độ giao điểm của Parabol với trục hoành và dựa vào dữ kiện đề bài để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

Hàm số \(y = m{x^4} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + {m^2} - m + 1\) có ba điểm cực trị khi \(m\left( {{m^2} + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 0\).

Ta có \(y' = 4m{x^3} - 2\left( {{m^2} + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2m{x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right.\) .

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^2} - m + 1\\x = \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} \Rightarrow y = - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1\\x = - \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} \Rightarrow y = - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1\end{array} \right.\)

Hay \(M\left( {0;{m^2} - m + 1} \right);N\left( {\sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} ; - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1} \right);P\left( { - \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} ; - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1} \right)\)

Là ba điểm cực trị của hàm số đã cho.

Parabol đi qua ba điểm \(M,N,P\) có đỉnh là \(M\left( {0;{m^2} - m + 1} \right) \in Oy.\)

\( \Rightarrow \left( P \right)\) có phương trình \(y = a{x^2} + {m^2} - m + 1\).

Lại có \(N \in \left( P \right) \Rightarrow - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1 = a.\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}} + {m^2} - m + 1 \Rightarrow a = - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}\)

Suy ra \(\left( P \right):y = - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}{x^2} + {m^2} - m + 1\) cắt trục hoành tạ hai điểm \(A\left( {{x_A};0} \right);B\left( {{x_B};0} \right)\) với \({x_A},{x_B}\) là hai nghiệm của phương trình \( - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}{x^2} + {m^2} - m + 1 = 0\).

Theo bài ra ta có \(AB = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^2} - 4{x_A}{x_B} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4.\frac{{2m\left( {{m^2} - m + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{2m\left( {{m^2} - m + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow 2{m^3} - 2{m^2} + 2m = {m^2} + 1 \Leftrightarrow 2{m^3} - 3{m^2} + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\left( {tm} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.