Trong không gian \(Oxyz,\) xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) đồng

Câu hỏi số 334338:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\)lần lượt tại \(M,N,P\) sao cho tứ diện \(OMNP\) có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.\) với \(\left( P \right)\) có toạ độ là

A. \(\left( {4;6;1} \right).\)

B. \(\left( {4;1;6} \right).\)

C. \(\left( { - 4;6; - 1} \right).\)

D. \(\left( {4; - 1;6} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:334338

Phương pháp giải

- Gọi tọa độ các điểm \(M\left( {a;0;0} \right),N\left( {0;b;0} \right),P\left( {0;0;c} \right)\) suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

- Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình ở trên suy ra mối quan hệ \(a,b,c\).

- Đánh giá biểu thức tính thể tích khối tứ diện \(OMNP\) suy ra \(a,b,c\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

- Cho \(d\) giao \(\left( {MNP} \right)\) ta được kết quả bài toán.

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {a;0;0} \right),N\left( {0;b;0} \right),P\left( {0;0;c} \right)\) thuộc các tia \(Ox,Oy,Oz\) \( \Rightarrow a,b,c > 0\).

Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\). Điểm \(A \in \left( {MNP} \right) \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số không âm \(\frac{2}{a},\frac{1}{b},\frac{3}{c}\) ta được:

\(1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{6}{{abc}}}}\) \( \Rightarrow \frac{1}{3} \ge \sqrt[3]{{\frac{6}{{abc}}}} \Rightarrow \frac{1}{{27}} \ge \frac{6}{{abc}} \Rightarrow abc \ge 6.27 = 162\).

Lại có, \({V_{OMNP}} = \frac{1}{6}abc \ge \frac{1}{6}.162 = 27\) nên \(\min {V_{OMNP}} = 27\) khi \(\frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\\c = 9\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {MNP} \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 18 = 0\).

Gọi \(B\left( {2 + t;1 - t;4 + t} \right) = d \cap \left( {MNP} \right)\)

\( \Rightarrow 3\left( {2 + t} \right) + 6\left( {1 - t} \right) + 2\left( {4 + t} \right) - 18 = 0\) \( \Leftrightarrow - t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow B\left( {4; - 1;6} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.