Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m

Câu hỏi số 334337:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} = {x^2} - 5x - m + 2\) có nghiệm ?

A. Vô số.

B. \(4\)

C. \(6\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:334337

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\) với \(\left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)\) để biến đổi giả thiết đưa về dạng \(f\left( a \right) = f\left( b \right)\).

Chỉ ra \(f\left( x \right)\) là hàm đơn điệu rồi suy ra \(a = b\)

Từ đó lập luận ta sẽ tìm được \(m.\)

Giải chi tiết

Đk : \(\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} > 0 \Rightarrow 3{x^2} + 3x + m + 1 > 0\)

Ta có \({\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} = {x^2} - 5x - m + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) - {\log _2}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) = {x^2} - 5x - m + 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) + \left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) = \left[ {{{\log }_2}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) + 1} \right] + 4{x^2} - 2x + 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) + \left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) = \left[ {{{\log }_2}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) + {{\log }_2}2} \right] + 4{x^2} - 2x + 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) + \left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) = {\log _2}\left( {4{x^2} - 2x + 2} \right) + 4{x^2} - 2x + 2\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0;\,t > 0 \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) .

Từ (*) suy ra \(f\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) = f\left( {4{x^2} - 2x + 2} \right)\).

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + m + 1 = 4{x^2} - 2x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 5x - m - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\).

Để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm.

\( \Rightarrow \Delta = 25 + 4\left( {m + 1} \right) = 29 + 4m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{{29}}{4}.\)

Mà \(m\) nguyên âm nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.