Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( { - 2;1;2} \right),B\left( { - 1;1;0} \right)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 335110:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( { - 2;1;2} \right),B\left( { - 1;1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\). Điểm \(C\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B.\) Cao độ của điểm \(C\) bằng

A. \(1\) hoặc \( - \dfrac{2}{3}\)

B. \( - 1\) hoặc \(\dfrac{2}{3}\)

C. \( - 3\) hoặc \(\dfrac{1}{3}\)

D. \( - 1\) hoặc \( - \dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335110

Phương pháp giải

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\\BA = BC\end{array} \right.\)

Và điều kiện \(C \in \left( P \right)\) để tìm được cao độ của \(C.\)

Giải chi tiết

Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {x + 1;y - 1;z} \right);\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0; - 2} \right)\)

Vì \(C \in \left( P \right) \Leftrightarrow x + y + z = 1\,\left( 1 \right)\)

Lại có Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\\BA = BC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {x + 1} \right) - 2z = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 5\end{array} \right.\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + 1 = 0\\ - 1\left( {x + 1} \right) - 2z = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2z - 1\\y = - z - x - 1\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2z - 1\\y = z\\{\left( { - 2z} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} + {z^2} = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 6{z^2} - 2z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\z = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy điểm \(C\) có tung độ là \(1\) hoặc \( - \dfrac{2}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.