Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 3 - 2i} \right| + \left| {z - 3 + i} \right| = 3\sqrt 5 \) .

Câu hỏi số 335112:

Vận dụng

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 3 - 2i} \right| + \left| {z - 3 + i} \right| = 3\sqrt 5 \) . Gọi \(M,m\) lần lượt là hai giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z + 2} \right| + \left| {z - 1 - 3i} \right|\) . Tìm \(M,m.\)

A. \(M = \sqrt {17} + \sqrt 5 ;m = 3\sqrt 2 \)

B. \(M = \sqrt {26} + 2\sqrt 5 ;m = \sqrt 2 \)

C. \(M = \sqrt {26} + 2\sqrt 5 ;m = 3\sqrt 2 \)

D. \(M = \sqrt {17} + \sqrt 5 ;m = \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335112

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học để tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z.\)

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng cách biện luận theo vị trí các điểm đặc biệt của tập hợp điểm tìm được.

Giải chi tiết

Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = x + yi\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

Điểm \(A\left( { - 3;2} \right)\) biểu diễn số phức \({z_1} = 3 - 2i\)

Điểm \(B\left( {3; - 1} \right)\) biểu diễn số phức \({z_2} = - 3 + i\)

Khi đó ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {3 + 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = 3\sqrt 5 \) và

\(\left| {z + 3 - 2i} \right| + \left| {z - 3 + i} \right| = 3\sqrt 5 \) \( \Leftrightarrow \left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| = 3\sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow MA + MB = 3\sqrt 5 \)

Suy ra \(MA + MB = AB \Rightarrow \) tập hợp điểm \(M\) là đường thẳng \(AB.\)

+ Xét \(P = \left| {z + 2} \right| + \left| {z - 1 - 3i} \right|\)

Gọi \(C\left( { - 2;0} \right)\) và \(D\left( {1;3} \right)\) khi đó \(P = \left| {z + 2} \right| + \left| {z - 1 - 3i} \right| = MC + MD\)

Ta tìm \({M_1} \in AB\) sao cho \(MC + MD\) nhỏ nhất và tìm \({M_2} \in AB\) sao cho \(MC + MD\) lớn nhất

Gọi \({M_1}\) là giao của \(AB;CD\) ta thấy \({M_1}C + {M_1}D = CD \le MC + MD \le BC + BD\)

Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(m = {M_1}C + {M_1}D = CD = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2 \)

Giá trị lớn nhất của \(P\) là \(M = BC + BD = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} + 2\sqrt 5 \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.