Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên bằng \(a\sqrt 7 \), đáy \(ABC\) là tam giác
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên bằng \(a\sqrt 7 \), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a,\,\,AC = a\sqrt 3 \). Biết hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(BC\), Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA',\,\,B'C'\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường này và mặt phẳng song song với đường này chứa đường kia.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).
\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'H \bot \left( {A'B'C'} \right)\).
Trong \(\left( {A'B'C'} \right)\) kẻ \(A'E \bot B'C'\,\,\left( {E \in B'C'} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot A'E\\B'C' \bot A'H\,\,\left( {A'H \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {A'EH} \right)\).
Trong \(\left( {A'EH} \right)\) kẻ \(A'K \bot HE\,\,\left( {K \in HE} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}A'K \bot HE\\A'K \bot B'C'\,\,\left( {B'C' \bot \left( {A'EH} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'K \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
Ta có: \(AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {AA';B'C'} \right) = d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'K\).
Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}BC = a\).
Trong tam giác vuông \(AA'H:\,\,A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \sqrt {7{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 6 \).
Trong tam giác vuông \(A'B'C':\,\,A'E = \dfrac{{A'B'.A'C'}}{{B'C'}} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{2a}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(A'H \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow A'H \bot A'E \Rightarrow \Delta A'EH\) vuông tại \(A'\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A'EH\):
\(A'K = \dfrac{{A'E.A'H}}{{\sqrt {A'{E^2} + A'{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 6 }}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + 6{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \).
Vậy \(d\left( {AA';B'C'} \right) = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
