Xét số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {z - \overline z } \right)

Câu hỏi số 335505:

Vận dụng

Xét số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\). Tính \(P = - a + 4b\) khi \(\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(P = 7\)

B. \(P = 6\)

C. \(P = 5\)

D. \(P = 4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335505

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {a + bi - a + bi} \right) - 15i = i{\left( {a + bi + a - bi - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8bi - 15i = i{\left( {2a - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {8b - 15} \right)i = {\left( {2a - 1} \right)^2}i\\ \Leftrightarrow 8b - 15 = 4{a^2} - 4a + 1\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{{4{a^2} - 4a + 16}}{8} = \dfrac{1}{2}\left( {{a^2} - a + 4} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là parabol \(y = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} - x + 4} \right)\).

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\), \(N\left( {\dfrac{1}{2}; - 3} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z' = \dfrac{1}{2} - 3i\).

Theo bài ra ta có: \(\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right| = \left| {z - \left( {\dfrac{1}{2} - 3i} \right)} \right| = M{N_{\min }} \Leftrightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{15}}{8}} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{{15}}{8}\end{array} \right. \Rightarrow P = - a + 4b = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{15}}{2} = 7\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.