Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa

Câu hỏi số 335504:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \dfrac{9}{2}\) và \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\cos \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{1}{\pi }\)

B. \(\dfrac{4}{\pi }\)

C. \(\dfrac{6}{\pi }\)

D. \(\dfrac{2}{\pi }\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335504

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\cos \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\cos \dfrac{{\pi x}}{2}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \left. {\cos \dfrac{{\pi x}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 + \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{2}f\left( 1 \right) - \cos 0f\left( 0 \right) + \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Xét \(\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right) + k\sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)}^2}dx} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right)k\sin \dfrac{{\pi x}}{2} + {k^2}{{\sin }^2}\dfrac{{\pi x}}{2}} \right]dx} = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} + 2k\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} + {k^2}\int\limits_0^1 {{{\sin }^2}\dfrac{{\pi x}}{2}dx} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} + 2k\dfrac{3}{2} + {k^2}.\dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {k^2} + 6k + 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {k + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow k = - 3\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right) - 3\sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)}^2}dx} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 3\sin \dfrac{{\pi x}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3\sin \dfrac{{\pi x}}{2}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right) = dx} = \int\limits_0^1 {3\sin \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \left. {\dfrac{{ - 3\cos \dfrac{{\pi x}}{2}}}{{\dfrac{\pi }{2}}}} \right|_0^1 = - \dfrac{6}{\pi }\left( {\cos \dfrac{\pi }{2} - \cos 0} \right) = \dfrac{6}{\pi }\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.